Pratica 1: Conhecendo os dados

2.1. Distribuição normal

A distribuição normal, ou gaussiana é bastante comum, mas lembre-se de que nem tudo na natureza é normal. A distribuição normal é uma distribuição contínua. Uma variável \({X}\) descrita pela distribuição normal é definida como: \({X \sim N(\mu, \sigma)}\),

onde \(\mu\) é a média da distribuição e \(\sigma\) é o desvio padrão. A variância da distribuição normal é \(\sigma^2\).

Vamos gerar valores aleatórios extraídos de uma distribuição normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\) conhecidos. Para gerar distribuições aleatórias a partir de uma normal, vamos usar a função rnorm.

Primeiro, o vamos criar o que chamamos de distribuição normal padrão: \(\mu=0\) e \(\sigma=1\).

# como estamos gerando distribuições aleatórias, para que todos os computadores gerem os mesmos valores, usamos a função 'set.seed' com o mesmo valor
set.seed(42)
# usamos a funcao rnorm que recebe: n de observações, a média e o desvio
norm1 <- rnorm(n=100, mean=0, sd=1)
hist(norm1, main=expression(paste(lambda,"=0", ", ", sigma, "=1", sep="")), probability=TRUE)
abline(v=mean(norm1), col="red")

Note que mesmo um conjunto de valores extraídos de uma distribição normal, simplesmente devido ao processo de amostragem podem não seguir uma distribuição normal perfeita.

Vamos ver o que acontece quando aumentamos o tamanho da amostra.

# usamos a funcao rnorm que recebe: n de observações, a média e o desvio
norm2 <- rnorm(n=10000, mean=0, sd=1)
hist(norm2, main=expression(paste(lambda,"=0", ", ", sigma, "=1", sep="")), probability=TRUE)
abline(v=mean(norm2), col="red")

Com o aumento da amostra, podemos ver que a média \(\mu\) se aproxima de 0 e a distribuição fica mais simétrica. Use os comandos mean e sd para comparar os valores da média e desvio padrão dos dois objetos gerados ( norm1 e norm2 ).

Vamos explorar um pouco mais os parâmetros da distribuição normal. Vamos criar dois conjuntos de dados com a mesma média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\) diferentes.

# criando um vetor com uma variável normal de média 0 e desvio 2
norm3 <- rnorm(100, mean=0, sd=2)
# criando um vetor com uma variável normal de média 0 e desvio 8
norm4 <- rnorm(100, mean=0, sd=8) 

Agora vamos visualizar os dados em um histograma de densidade.

par(mfrow=c(1,2))
hist(norm3, main=expression(paste(lambda,"=0", ", ", sigma, "=2", sep="")), 
     probability = TRUE, xlim=c(-22,22 ))
abline(v=mean(norm3), col="red")
hist(norm4, main=expression(paste(lambda,"=0", ", ", sigma, "=8", sep="")), 
     probability = TRUE, xlim=c(-22,22))
abline(v=mean(norm4), col="red")

Note que, apesar dos dois conjuntos de dados virem de uma distribuição normal com a mesma média, como o desvio padrão é diferente, as distribuições de cada conjunto de dados tem formas bastante distintas.

# Criando 1000 valores de uma amostra de 25 com probabilidade 0,5
bin1 <- rbinom(n=1000, size=25, prob=0.5)

par(mfrow=c(1,2))
hist(bin1, probability=TRUE, main="n=25, p=0.5")
abline(v=mean(bin1), col="red")

# Criando 1000 valores de uma amostra de 25 com probabilidade 0,8
bin2 <- rbinom(n=1000, size=25, prob=0.8)

hist(bin2, probability=TRUE, main="n=25, p=0.8")
abline(v=mean(bin2), col="red")

par(mfrow=c(1,1))

2.2.1 Distribuição binomial na natureza

É muito comum termos uma variável binomial em dados biológicos: presença ou ausência de uma espécie em um dado local, proporção de plantas mortas em um tratamento experimental, proporção de organismos infestados por parasitas, entre outros.

Vamos tomar como exemplo um peixe da família Characidae Thayeria tapajonica da bacia do Tapajós. A espécie foi descrita recentemente (2017) e se observou uma grande quantidade de peixes infestados por parasitas (ainda desconhecido). Em 50 amostras ao longo do rio Tapajós foram coletados 100 indivíduos de T. tapajonica e contaram quantos destes estavam infestados por parasitas. Os dados estão no arquivo ‘peixes.csv’. Vamos carregá-lo no R e inspecionar a distribuição.

peixes <- read.csv("dados/peixes.csv")
summary(peixes$infestados)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    59.0    66.0    70.0    69.2    71.0    80.0

Vamos fazer um histograma com essa a coluna ‘infestados’.

hist(peixes$infestados, probability = TRUE, main="média=69")

Vamos checar o ajuste dos dados à distribuição binomial. Antes, vamos calcular a média e o desvio padrão dos dados e, com isso, os parâmetros \(n\) e \(p\).

# media
med.peixes <- mean(peixes$infestados)
# desvio padrao
desv.peixes <- sd(peixes$infestados)
# N de tentativas
n = 100
# probabilidade de sucesso 
## se média = n*p; p=média/100 
prob.obs <- med.peixes/100

Agora para a comparação visual, vamos comparar os dados com a distribuição binomial com \(n\) e \(p\) igual aos dados.

# antes precisamos de um vetor que represente o intervalo de observações
seq.peixes <- seq(54, 80, 2) 
hist(peixes$infestados, probability=TRUE, breaks=seq.peixes)
points(seq.peixes, dbinom(seq.peixes, size = n, prob=prob.obs), col="blue")

2.3.1. Distribuição Poisson na natureza

A distribuição poisson é utilizada para descrever número de espécies em determinado local, frequência de espécies raras no espaço ou no tempo, número de nascimentos em um município, entre outros.

Vamos tomar como exemplo a produção de frutos em cada planta de uma variedade de tomate, Lycopersicon esculentum (Solanaceae). Em uma estufa, pesquisadores acompanharam o crescimento de 1000 plantas de tomate até a formação dos frutos. Em cada planta, os pesquisadores contaram o número de frutos produzidos. Vamos olhar a distribuição dos dados. Os dados estão no arquivo ‘tomates.csv’. Vamos carregar o arquivo e olhar as estatísticas descritivas.

tomates <- read.csv("dados/tomates.csv")
summary(tomates)

##     Nfrutos      
##  Min.   : 51.00  
##  1st Qu.: 74.00  
##  Median : 80.00  
##  Mean   : 80.03  
##  3rd Qu.: 86.00  
##  Max.   :110.00

Vamos olhar graficamente em um histograma de densidade probabilística a distribuição dos dados e a média do número de frutos.

hist(tomates$Nfrutos, probability=TRUE, main="média=80")
abline(v=mean(tomates$Nfrutos), col="red")

Vamos comparar a distribuição observada com o esperado de uma poisson com \(\lambda\) igual a média dos dados observados.

# vamos calcular o máximo do número de frutos
mfrut<-max(tomates$Nfrutos)
# vamos calcular a média do número de frutos
lambda = mean(tomates$Nfrutos)
hist(tomates$Nfrutos, probability = TRUE)
points(dpois(0:mfrut, lambda), col="blue")

Vamos calcular agora a variância da distribuição empírica e ver se ela se aproxima do valor de \(\lambda\).

# variância
var(tomates$Nfrutos)

## [1] 78.21248

mean(tomates$Nfrutos)

## [1] 80.027